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【周末杂谈】奇妙的公式
出自识林
2022-01-30
一个看似纯粹的数学问题，却有着非常实际的应用，并予人以想象力
今天是腊月二十八，大家都沉浸在喜庆的过年气氛中。像去年一样，周末杂谈来凑个热闹，与大家分享数学上一项惊人的新进展，让脑子兴奋一下。该进展刊登在本月12日美国的《物理评论快报，Physics Review Letters》上，作者是意大利物理学家Alessio Zaccone博士，结果如下。
长长的公式表示的是如下问题的精确解：在立方体内，随机地堆放同样大小的刚球，求所有球所占的总体积与三维（3D）立方体积的最大比值，即求解随机密堆积（Random Close Packing，RCP），Ø3DRCP。
也许有人会觉得，若是放的球小一些，就可以多占一些体积。其实不然，小球的球与球和球与立方体表面的缝隙空间小些，但球的数量多了，缝隙的数量也多了，缝隙的总体积并不一定减小。
此问题可用计算机模拟实验求近似解。反复、随机地投放球，寻找最高的堆积值。每次实验用的球都一样大小，但不同次实验可用不同大小的球。多年来的计算结果显示Ø3DRCP在0.6和0.69之间。上述公式给出的值是0.65896…。
美妙的是，Ø3D RCP可用公式毫无近似地精确表达，且如此精巧，仅用整数和π就可表达！近来常听到对AI和大数据的推崇，但笔者难以想象AI和计算机模拟会在可见的将来产生如此美妙的公式。
Zaccone博士的文章指出随机密堆积问题的精确求解，可以推广到二维空间（用圆去覆盖正方形）或N-维空间（用N-维球去填充N-维正方体），且圆球可以用椭球替换。
也许有人会问，你越说越理论了，随机密堆积的求解有啥实际用处吗？
这个看上去非常理论的问题，其实有非常实际的应用，不仅包括在物理和材料科学中的应用，还包括带有噪声的信号通信问题。现以二维空间的随机密堆积为例，来形象地显示与信号通信问题的关系。
若将信号描述为信号编码空间中的一个几何点，带噪声的信号便可用以信号为中心的圆代表（圆者，一周同长也），半径代表着噪声的大小。当两个带噪声的信号靠得过近，导致圆重叠，重叠区域就代表着难辨识的信号空间。在保证信号传递无误的前提下，提高信号传输的效率，即让给定的信号空间尽量多地容纳可以辨识的信号，就等于问：给定空间最多能容纳多少互不重叠的圆。这不就是二维随机密堆问题吗？！
那些有耐心坚持到此的读者，其想象力可能已经开始飞翔了，已经喜迎节日了。
祝大家新春快乐！
作者：榆木疙瘩
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